UP Board Class 10 Mathematics Notes : H.C.F and L.C.M (Chapter Second), Part-II

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लघुतम समापववर्त्य (Lowest Common Multiple):

प्रथम विधि : यदि m, n दो प्राकृतिक संख्याएं हों, तो हम जानते हैं कि m और n गुणनफल उनके म. स. और ल. स. के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्

mn = (m और n का म.स.) X (m और n का ल.स.)

= (x+3)(x–2)²(x–6).

UP Board Class 10 Mathematics Notes : H.C.F and L.C.M (Chapter Second), Part-I

द्वितीय विधि : निम्नलिखित विधि से भी हम दिये हुए बहुपदों का ल. स. ज्ञात कर सकते हैं| दिये हुए बहुपदों के गुणनखण्ड करने पर

P(x) = (x + 3)(x – 2)²

q(x) =(x – 2)(x – 6)

अब हम p(x) और q(x) के प्रत्येक गुणनखण्ड को लेकर इ बहुपद बना लेते हैं और यदि कोई गुणनखण्ड दोनों में सर्वनिष्ठ हो, तो हम उस गुणनखण्ड को लेते हैं जिसकी p(x),q(x) में अधिकतम घात हो| निम्न उदाहरणों से क्रिया स्पष्ट हो जायेगी:

हल सहित उदाहरण:

उदाहरण1. x(x² – 1) और (x³ – 1) का ल.स. है:

(i) x(x – 1)

(ii) x(x² – 1)

(iii) x(x³ – 1)

(iv) x(x + 1)(x³ – 1)

उत्तर: विकल्प (iv) x(x + 1)(x³ –1).

हल: x(x² –1) = x X (x – 1)X(x + 1)

X³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

ल. स. = x(x – 1)(x + 1)(x² + x + 1)

= x(x + 1)(x³ – 1).

उदाहरण 3. व्यंजको x²–x–12, x²–9  तथा  x²–8x+16 का लघुतम समापवर्तक ज्ञात कीजिए|

हल: x² – x – 12 = (x – 4) X (x + 3)

X² – 9 = (x – 3) X (x+ 3)

X² – 8x + 16 = (x – 4) X (x – 4)

ल.स. = (x – 3)(x + 3)(x – 4)(x – 4)

= (x – 3)(x + 3)(x – 4)²

उदाहरण 4. यदि दो व्यंजकों का गुणनखण्ड (x – 1)³ है और उसका महत्तम समापवर्तक (x – 1) हो, तोउसके लघुतम समापवर्तक का मान होगा:

(i) (x – 1)

(ii) (x – 1)²

(iii) (x – 1)³

(iv) (x – 1)⁴

उत्तर: विकल्प (ii) (x – 1)² सही है|

हल: हम जानते हैं कि

दो व्यंजकों का गुणनफल = म.स. X ल.स.

  (x – 1)³ = (x – 1) X ल.स.

ल.स. = (x – 1)³/(x – 1)

ल.स. = (x – 1)²

उदाहरण 5. (x² – 7x + 12) तथा  (x² – 2x + 3) का ल. स. ज्ञात कीजिए|

हल:  x² – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)

x² –2x + 3 = (x – 1) (x – 3)

ल.स. = (x – 1)(x – 3)(x – 4).

उदाहरण 6. व्यंजकों x³ + 27, x² – 9 तथा  2x² +5x – 3 का ल.स. ज्ञात कीजिए|

हल: x³ + 27 = (x + 3)(x² – 3x + 9)

x² – 9 = (x – 3)(x – 3)

2x² + 5x – 3 = 2x² + 6x – x – 3

= 2x (x + 3) – 1(x + 3)

= (x + 3)(2x – 1)

ल.स. =(x + 3)(x – 3)(2x – 1)(x² –3x + 9)

=(x² –9)(2x – 1)(x² –3x + 9).

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-I

उदाहरण 7. दो बहुपदों के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक क्रमश: (x–5) और (x–5)(x²–7x+12) हैं| यदि उनमें से एक बहुपद (x²–8x+15) है यदि उनमें से एक बहुपद (x²–8x+15) हो, तो दूसरा बहुपद ज्ञात कीजिए|

हल: म.स. = (x – 5)

ल.स. = (x – 5)(x² –7x + 12)

एक बहुपद = x²–8x+15

=(x – 4)(x – 5)

=x2 – 9x+ 20

अत:       दूसरा बहुपद =x²–9x+20

उदाहरण 8. यदि दो बहुपदों का गुणनफल (x²–9)(x³–8) हो तथा उनका म.स. (x²+x–6) हो तो उनका ल.स. ज्ञात कीजिए|

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Rational Expressions (Chapter First), Part-II